RAZÕES TRIGONOMETRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Razões trigonométricas em triângulos retângulos

BNCC Matematica: EF09MA13

Aprenda a calcular o seno, cosseno e tangente de ângulos de triângulo retângulos.

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As razões dos lados de um triângulo retângulo são chamadas razões trigonométricas. Três razões trigonométricas comuns são o seno (sen), cosseno (cos) e tangente (tan). Elas estão definidas no triângulo agudo $A$A abaixo:

$\maroonC{\text{cateto adjacente}}$$\blueD{\text{cateto oposto}}$$\purpleC{\text{hipotenusa}}$$\text{sen} (A) = \dfrac{\blueD{\text{cateto oposto}}}{\purpleC{\text{hipotenusa}}}$$\cos (A) = \dfrac{\maroonC{\text{cateto adjacente}}}{\purpleC{\text{hipotenusa}}}$$\operatorname{tg} (A) = \dfrac{\blueD{\text{cateto oposto}}}{\maroonC{\text{cateto adjacente}}}$$A$$B$$C$

Nessas definições, os termos cateto oposto, cateto adjacente e hipotenusa se referem aos comprimentos dos lados.

SOH-CAH-TOA: uma maneira fácil de memorizar as razões trigonométricas

A palavra sohcahtoa nos ajuda a lembrar as definições de seno, cosseno e tangente. Funciona assim:

Parte do acrônimo	Descrição verbal	Descrição matemática
$\Large S\blueD{O}\purpleC{H}$S, start color blueD, O, end color blueD, start color purpleC, H, end color purpleC	$\text{S}$Seno é o cateto $\text{\blueD{O}}$start color blueD, O, end color blueDposto sobre a $\text{\purpleC{H}}$start color purpleC, H, end color purpleCipotenusa	$\operatorname{sen}(A)$ = $\dfrac{\text{\blueD{Cateto oposto}}}{\text{\purpleC{Hipotenusa}}}$start fraction, start color blueD, C, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end color blueD, divided by, start color purpleC, H, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end color purpleC, end fraction
$\Large C\maroonC{A}\purpleC{H}$C, start color maroonC, A, end color maroonC, start color purpleC, H, end color purpleC	$\text{C}$Cosseno é o cateto $\text{\maroonC{A}}$start color maroonC, A, end color maroonCdjacente sobre a $\text{\purpleC{H}}$start color purpleC, H, end color purpleCipotenusa	$\cos(A) = \dfrac{\text{\maroonC{Cateto adjacente}}}{\text{\purpleC{Hipotenusa}}}$cosine, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color maroonC, C, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end color maroonC, divided by, start color purpleC, H, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end color purpleC, end fraction
$\Large T\blueD{O}\maroonC{A}$T, start color blueD, O, end color blueD, start color maroonC, A, end color maroonC	$\text{T}$Tangente é o cateto $\text{\blueD{O}}$start color blueD, O, end color blueDposto sobre o cateto $\text{\maroonC{A}}$start color maroonC, A, end color maroonCdjacente	$\operatorname{tg}(A) = \dfrac{\text{\blueD{Cateto oposto}}}{\text{\maroonC{Cateto adjacente}}}$

Por exemplo, se queremos nos lembrar da definição do seno, fazemos referência a $S\blueD{O}\purpleC{H}$S, start color blueD, O, end color blueD, start color purpleC, H, end color purpleC, uma vez que seno começa com a letra S. O $\text{\blueD{O}}$start color blueD, O, end color blueD e o $\text{\purpleC{H}}$start color purpleC, H, end color purpleC nos ajudam a lembrar que seno é cateto $\text{\blueD{oposto}}$start color blueD, o, p, o, s, t, o, end color blueD sobre $\text{\purpleC{hipotenusa}}$start color purpleC, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end color purpleC!

Exemplo

Suponha que queremos encontrar o $\operatorname{sen}( A)$ no $\triangle ABC$triangle, A, B, C dado abaixo:

$4$$5$$3$$C$$A$$B$

O seno é definido como a razão entre o cateto $\text{\blueD{oposto}}$start color blueD, o, p, o, s, t, o, end color blueD e a $\text{\purpleC{hipotenusa}}$start color purpleC, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end color purpleC $(S\blueD{O}\purpleC{H})$left parenthesis, S, start color blueD, O, end color blueD, start color purpleC, H, end color purpleC, right parenthesis. Portanto:

$4$$5$$3$$C$$A$$B$

$\begin{aligned}\operatorname{sen}( A)&=\dfrac{\blueD{\text{ cateto oposto }} }{ \purpleC{\text{ hipotenusa}} }\\\\ &=\dfrac{\blueD{BC}}{\purpleC{AB}}\\\\\\ &=\dfrac{\blueD{3}}{\purpleC{5}} \\\\\\ \end{aligned}$

EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU

Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Veja:

• 2x + 1 = 0. O expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º grau.
• 2x² + 2x + 6 = 0. Há duas incógnitas x nessa equação, e uma delas possui expoente 2. Essa equação é classificada como do 2º grau.
• x³ – x² + 2x – 4 = 0. Nesse caso, temos três incógnitas x, e o maior expoente – no caso, expoente 3 – torna a equação como do 3º grau.

O que são raízes ou soluções de uma equação do 2º grau?

Cada modelo de equação possui uma forma de resolução. Trabalharemos a forma de resolução de uma equação do 2º grau por meio do método de "Bhaskara". Determinar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir suas raízes, isto é, o valor ou os valores que satisfazem a equação. As raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0, por exemplo, são x = 4 ou x = 6, pois:

Substituindo x = 4 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0
4² – 10 * 4 + 24 = 0
16 – 40 + 24 = 0
–24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)

Substituindo x = 6 na equação, temos:

x² – 10x + 24 = 0
6² – 10 * 6 + 24 = 0
36 – 60 + 24 = 0
– 24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)

Podemos verificar que os dois valores satisfazem a equação, mas como podemos determinar os valores que tornam a equação uma sentença verdadeira? É essa forma de determinar os valores desconhecidos que abordaremos a seguir.

Método de Bhaskara

Vamos determinar pelo método resolutivo de Bhaskara os valores da seguinte equação do 2º grau: x² – 2x – 3 = 0.

aula de trigonometria

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USANDO A MATEMÁTICA NO NOSSO COTIDIANO

Quando estamos pretendendo realizar uma atividade, dificilmente associamos a algum conhecimento matemático, ou até mesmo não fazemos a associação com nenhuma disciplina escolar. É importante observar que em todas as atividades que realizamos diariamente tem sempre um questionamento a se fazer relacionado a matemática.

Uma atividade que podemos pegar como exemplo é uma simples ida a padaria, você deve estar pensando, porque padaria? Digamos que pela manhã você vai a padaria comprar pão, em seguida você pensa em quantos pães comprar, ou seja quantas unidades. Sabendo a quantidade que vai comprar vem o questionamento: qual o valor de dinheiro que vou gastar para fazer a compra? evidentemente que temos primeiro que saber qual é o preço da unidade, cada unidade que nós formos comprando temos de somar o valor. O valor total em dinheiro é a soma dos valores unitários, na prática se compramos 6 pães e o valor da unidade é igual a R$0,20, sabemos que o valor da compra é de R$1,20. Usamos valores numéricos para realizar esse raciocínio, abordando conceitos matemáticos importantes como o uso de unidades, soma, quantidade.