RAZÕES TRIGONOMETRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Razões trigonométricas em triângulos retângulos

BNCC Matematica: EF09MA13

Aprenda a calcular o seno, cosseno e tangente de ângulos de triângulo retângulos.

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As razões dos lados de um triângulo retângulo são chamadas razões trigonométricas. Três razões trigonométricas comuns são o seno (sen), cosseno (cos) e tangente (tan). Elas estão definidas no triângulo agudo $A$A abaixo:

$\maroonC{\text{cateto adjacente}}$$\blueD{\text{cateto oposto}}$$\purpleC{\text{hipotenusa}}$$\text{sen} (A) = \dfrac{\blueD{\text{cateto oposto}}}{\purpleC{\text{hipotenusa}}}$$\cos (A) = \dfrac{\maroonC{\text{cateto adjacente}}}{\purpleC{\text{hipotenusa}}}$$\operatorname{tg} (A) = \dfrac{\blueD{\text{cateto oposto}}}{\maroonC{\text{cateto adjacente}}}$$A$$B$$C$

Nessas definições, os termos cateto oposto, cateto adjacente e hipotenusa se referem aos comprimentos dos lados.

SOH-CAH-TOA: uma maneira fácil de memorizar as razões trigonométricas

A palavra sohcahtoa nos ajuda a lembrar as definições de seno, cosseno e tangente. Funciona assim:

Parte do acrônimo	Descrição verbal	Descrição matemática
$\Large S\blueD{O}\purpleC{H}$S, start color blueD, O, end color blueD, start color purpleC, H, end color purpleC	$\text{S}$Seno é o cateto $\text{\blueD{O}}$start color blueD, O, end color blueDposto sobre a $\text{\purpleC{H}}$start color purpleC, H, end color purpleCipotenusa	$\operatorname{sen}(A)$ = $\dfrac{\text{\blueD{Cateto oposto}}}{\text{\purpleC{Hipotenusa}}}$start fraction, start color blueD, C, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end color blueD, divided by, start color purpleC, H, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end color purpleC, end fraction
$\Large C\maroonC{A}\purpleC{H}$C, start color maroonC, A, end color maroonC, start color purpleC, H, end color purpleC	$\text{C}$Cosseno é o cateto $\text{\maroonC{A}}$start color maroonC, A, end color maroonCdjacente sobre a $\text{\purpleC{H}}$start color purpleC, H, end color purpleCipotenusa	$\cos(A) = \dfrac{\text{\maroonC{Cateto adjacente}}}{\text{\purpleC{Hipotenusa}}}$cosine, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color maroonC, C, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end color maroonC, divided by, start color purpleC, H, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end color purpleC, end fraction
$\Large T\blueD{O}\maroonC{A}$T, start color blueD, O, end color blueD, start color maroonC, A, end color maroonC	$\text{T}$Tangente é o cateto $\text{\blueD{O}}$start color blueD, O, end color blueDposto sobre o cateto $\text{\maroonC{A}}$start color maroonC, A, end color maroonCdjacente	$\operatorname{tg}(A) = \dfrac{\text{\blueD{Cateto oposto}}}{\text{\maroonC{Cateto adjacente}}}$

Por exemplo, se queremos nos lembrar da definição do seno, fazemos referência a $S\blueD{O}\purpleC{H}$S, start color blueD, O, end color blueD, start color purpleC, H, end color purpleC, uma vez que seno começa com a letra S. O $\text{\blueD{O}}$start color blueD, O, end color blueD e o $\text{\purpleC{H}}$start color purpleC, H, end color purpleC nos ajudam a lembrar que seno é cateto $\text{\blueD{oposto}}$start color blueD, o, p, o, s, t, o, end color blueD sobre $\text{\purpleC{hipotenusa}}$start color purpleC, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end color purpleC!

Exemplo

Suponha que queremos encontrar o $\operatorname{sen}( A)$ no $\triangle ABC$triangle, A, B, C dado abaixo:

$4$$5$$3$$C$$A$$B$

O seno é definido como a razão entre o cateto $\text{\blueD{oposto}}$start color blueD, o, p, o, s, t, o, end color blueD e a $\text{\purpleC{hipotenusa}}$start color purpleC, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end color purpleC $(S\blueD{O}\purpleC{H})$left parenthesis, S, start color blueD, O, end color blueD, start color purpleC, H, end color purpleC, right parenthesis. Portanto:

$4$$5$$3$$C$$A$$B$

$\begin{aligned}\operatorname{sen}( A)&=\dfrac{\blueD{\text{ cateto oposto }} }{ \purpleC{\text{ hipotenusa}} }\\\\ &=\dfrac{\blueD{BC}}{\purpleC{AB}}\\\\\\ &=\dfrac{\blueD{3}}{\purpleC{5}} \\\\\\ \end{aligned}$