SEMELHANÇA DE TRIÂNGULO

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, seus três ângulos são congruentes (na mesma ordem) e seus lados homólogos são proporcionais.

△ABC∼△DEF⎧⎩⎨⎪⎪A^=D^B^=E^,ABDE=BCEF=ACDFC^=F^

O símbolo ∼ significa “semelhante”.
Cada um dos lados homólogos está em um triângulo e ambos são opostos a ângulos congruentes.

Razão de semelhança

A razão entre dois lados homólogos ou entre dois triângulos semelhantes (k) é chamada de razão de semelhança.

ABDE=BCEF=ACDF=k

Exemplo:
Por exemplo, os triângulos abaixo são semelhantes:

Os ângulos são congruentes (iguais) e os lados homólogos são proporcionais.
Note que ABDE=BCEF=ACDF⇒42=84=63=2.
A razão de semelhança será k = 2. Podemos dizer que o triângulo ABC é 2 vezes maior que DEF ou que DEF é duas vezes menor que ABC.

Propriedades

Da definição de triângulos semelhantes decorrem as seguintes propriedades:
1. reflexiva: um triângulo é semelhante a ele mesmo.

△ABC∼△ABC

2. simétrica: se △ABC o é semelhante ao △DEF , então o △DEF é semelhante ao △ABC .

△ABC∼△ABC⟺△DEF∼△ABC

3. transitiva: se o △ABC é semelhante ao △DEF, e △DEF é semelhante a outro △JKL, então o △ABC é semelhante ao △JKL.

{△ABC∼△DEF△DEF∼△JKL⟺△ABC∼△JKL

Teorema fundamental

Se houver uma reta paralela a um dos lados de um triângulo e ela intercepta os outros dois lados em pontos distintos, dois triângulos serão formados e eles serão semelhantes.

Casos de semelhança

Para se verificar que dois triângulos são semelhantes, não é necessário conferir se todos os lados homólogos são proporcionais e que todos os ângulos são congruentes. Há alguns casos em que a detecção da semelhança é facilitada.

Caso AA (Ângulo, Ângulo)

Sejam dois triângulos ABC e DEF. Eles serão semelhantes se, e somente se, dois de seus ângulos forem congruentes.

{B^≡E^C^≡F^⟺△ABC∼△DEF

Caso LAL (Lado, Ângulo, Lado)

Dois triângulos serão semelhantes se, e somente se, eles tiverem dois lados respectivamente proporcionais e se os ângulos formados por esses lados forem congruentes.

{ABDE=BCEFB^≡F^⟺△ABC∼△DEF

Caso LLL (Lado, Lado, Lado)

Dois triângulos serão semelhantes se, e somente se, eles tiverem os três lados respectivamente proporcionais.

ABDE=BCEF=ACDF⟺△ABC∼△DEF

Razão entre áreas

A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é dada pelo quadrado da razão de semelhança entre eles.
Observe a pequena demonstração:

A área do triângulo ABC será: AABC=BC⋅AM2.
A área do triângulo DEF será: ADEF=EF⋅DN2.
Dividindo a área do primeiro pela do segundo temos:

AABCADEF=BC⋅AM2EF⋅DN2=BC⋅AM2⋅2EF⋅DN=BC⋅AMEF⋅DN

Mas, como os triângulos são semelhantes, temos que BCEF=AMDN=k.
Assim:

AABCADEF=BC⋅AMEF⋅DN=BCEF⋅AMDN=k⋅k=k2

Portanto, teremos que:

AABCADEF=k2

Congruência de triângulos

Dois triângulos são congruentes de a razão de semelhança for k = 1. Esses triângulos possuem os ângulos e os lados homólogos ambos congruentes.

△ABC≡△DEF⟺⎧⎩⎨⎪⎪A^≡D^B^≡E^C^≡F^ e AB≡DE,AC≡DF,BC≡EF.

Exemplo:
1. As figuras abaixo nos mostram pares de triângulos semelhantes, dessa forma calcule os valores de e x e y:

Observando os lados e os ângulos, os lados homólogos são: AB e DE, AC e DF, BC e EF. Assim, para encontrar y fazemos:

ABDE=BCEF

18y=129

12y=162

y=16212=272=13,5

Para encontrar x fazemos:

ACDF=BCEF

x18=129

9x=216

x=2169=24

Referências bibliográficas:
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar. Geometria Plana. Vol. 9. São Paulo: Atual, 1995.
RIBEIRO, Paulo Vinícius. Matemática: Semelhança de triângulos. Vol. 2. São Paulo: Bernoulli.

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