AULA DE TEOREMA DE PITÁGORAS

AULA DE TRIGONOMETRIA

AULA DE EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU

VÍDEO AULA

ESTUDE MATEMÁTICA

FÓRMULA

DIA DA MATEMÁTICA

MATEMÁTICA

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULO

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, seus três ângulos são congruentes (na mesma ordem) e seus lados homólogos são proporcionais.

△ABC∼△DEF⎧⎩⎨⎪⎪A^=D^B^=E^,ABDE=BCEF=ACDFC^=F^

O símbolo ∼ significa “semelhante”.
Cada um dos lados homólogos está em um triângulo e ambos são opostos a ângulos congruentes.

Razão de semelhança

A razão entre dois lados homólogos ou entre dois triângulos semelhantes (k) é chamada de razão de semelhança.

ABDE=BCEF=ACDF=k

Exemplo:
Por exemplo, os triângulos abaixo são semelhantes:

Os ângulos são congruentes (iguais) e os lados homólogos são proporcionais.
Note que ABDE=BCEF=ACDF⇒42=84=63=2.
A razão de semelhança será k = 2. Podemos dizer que o triângulo ABC é 2 vezes maior que DEF ou que DEF é duas vezes menor que ABC.

Propriedades

Da definição de triângulos semelhantes decorrem as seguintes propriedades:
1. reflexiva: um triângulo é semelhante a ele mesmo.

△ABC∼△ABC

2. simétrica: se △ABC o é semelhante ao △DEF , então o △DEF é semelhante ao △ABC .

△ABC∼△ABC⟺△DEF∼△ABC

3. transitiva: se o △ABC é semelhante ao △DEF, e △DEF é semelhante a outro △JKL, então o △ABC é semelhante ao △JKL.

{△ABC∼△DEF△DEF∼△JKL⟺△ABC∼△JKL

Teorema fundamental

Se houver uma reta paralela a um dos lados de um triângulo e ela intercepta os outros dois lados em pontos distintos, dois triângulos serão formados e eles serão semelhantes.

Casos de semelhança

Para se verificar que dois triângulos são semelhantes, não é necessário conferir se todos os lados homólogos são proporcionais e que todos os ângulos são congruentes. Há alguns casos em que a detecção da semelhança é facilitada.

Caso AA (Ângulo, Ângulo)

Sejam dois triângulos ABC e DEF. Eles serão semelhantes se, e somente se, dois de seus ângulos forem congruentes.

{B^≡E^C^≡F^⟺△ABC∼△DEF

Caso LAL (Lado, Ângulo, Lado)

Dois triângulos serão semelhantes se, e somente se, eles tiverem dois lados respectivamente proporcionais e se os ângulos formados por esses lados forem congruentes.

{ABDE=BCEFB^≡F^⟺△ABC∼△DEF

Caso LLL (Lado, Lado, Lado)

Dois triângulos serão semelhantes se, e somente se, eles tiverem os três lados respectivamente proporcionais.

ABDE=BCEF=ACDF⟺△ABC∼△DEF

Razão entre áreas

A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é dada pelo quadrado da razão de semelhança entre eles.
Observe a pequena demonstração:

A área do triângulo ABC será: AABC=BC⋅AM2.
A área do triângulo DEF será: ADEF=EF⋅DN2.
Dividindo a área do primeiro pela do segundo temos:

AABCADEF=BC⋅AM2EF⋅DN2=BC⋅AM2⋅2EF⋅DN=BC⋅AMEF⋅DN

Mas, como os triângulos são semelhantes, temos que BCEF=AMDN=k.
Assim:

AABCADEF=BC⋅AMEF⋅DN=BCEF⋅AMDN=k⋅k=k2

Portanto, teremos que:

AABCADEF=k2

Congruência de triângulos

Dois triângulos são congruentes de a razão de semelhança for k = 1. Esses triângulos possuem os ângulos e os lados homólogos ambos congruentes.

△ABC≡△DEF⟺⎧⎩⎨⎪⎪A^≡D^B^≡E^C^≡F^ e AB≡DE,AC≡DF,BC≡EF.

Exemplo:
1. As figuras abaixo nos mostram pares de triângulos semelhantes, dessa forma calcule os valores de e x e y:

Observando os lados e os ângulos, os lados homólogos são: AB e DE, AC e DF, BC e EF. Assim, para encontrar y fazemos:

ABDE=BCEF

18y=129

12y=162

y=16212=272=13,5

Para encontrar x fazemos:

ACDF=BCEF

x18=129

9x=216

x=2169=24

Referências bibliográficas:
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar. Geometria Plana. Vol. 9. São Paulo: Atual, 1995.
RIBEIRO, Paulo Vinícius. Matemática: Semelhança de triângulos. Vol. 2. São Paulo: Bernoulli.

Arquivado em: Geometria Plana